20.1.14

Bekâr Fantezisi

Çocukluktan beri tanıdığım arkadaşım Tolga, geçenlerde karısından ayrıldı. Aslında onları tanıyan herkes bu ilişkinin eninde sonunda biteceğinin farkındaydı, ne kadar çabuk biterse o kadar iyi diye düşünülüyordu. Ama onlar, artık geri dönülemez noktaya gelinceye kadar devam ettiler ve çok kötü bir şekilde ayrıldılar. Çok uzun süredir birlikteydiler. Tolga, bu ayrılıktan sonra bunalıma girdi. Yoksunluk yüzünden… İlişkiler de bağımlılık yapar, bilirsiniz. Ben, dilim döndüğünce, kendisini tekrar yeterince iyi hissedene kadar başka biriyle herhangi bir ilişkiden kaçınmasını öğütledim. Ayrılık acısını başka bir ilişkiyle gidermeye çalışmak kadar kötü bir fikir yoktur. Ama tabii çevresindeki diğer insanlar, bu satırların yazarı kadar akıllı olmadıkları için onu yeni birisini bulması konusunda ikna ettiler. O da tüm enerjisini yeni bir kız arkadaş bulmaya yöneltti.

Bir Cumartesi, kendisi gibi bekâr iki arkadaşıyla, popüler bir mekâna gitmek için sözleşmişler. Şimdi adını vermeyelim, reklam olmasın, insanların ayakta durduğu ve müziğe uygun belli belirsiz salınımlar eşliğinde birbirlerine sokularak yeni arkadaşlıklar başlatmanın yolunu aradıkları tarz yerlerden biri… Bu arada arkadaşları da başka arkadaşlarına haber vermiş, sonuçta altı kişi olmuşlar. Altı erkek… İçlerinden biri mekânın sahibini tanıyor olmasa, içeri girmeleri pek mümkün değilmiş. Tolga, orada üniversiteden tanıdığı Özge’yle karşılaşmış. Bir süre hafifçe flört etmişler. Önceden çok bir yakınlıkları yokmuş, ama hoş bir kızmış Özge. Sonra Özge’nin kız arkadaşlarıyla birlikte orada olduğunu, dahası altı kız arkadaş olduklarını öğrenmiş. Kendisinin de altı kişilik bir grupla geldiğini söylemiş, gülüşmüşler. Bir süre sonra iki grup bir araya gelmiş. Hepsi bekâr ve hepsi arayış içinde altısı kadın, altısı erkek on iki kişi… Eğlenceli ve bol kahkahalı bir muhabbet olmuş.

Sonra birinden şöyle bir fikir çıkmış ortaya, hepsinin de hoşuna gitmiş: Bir sonraki Cumartesi’den başlayarak, altı hafta boyunca, bu altı erkek ve altı kadın birbirlerini evlerinde ağırlasınlar. Her kadın, her erkekle; ve tabii her erkek her kadınla birer akşam geçirsin. Birlikte bir yemek, birkaç kadeh şarap, ondan sonra artık gece ne getirirse… Bu altı haftanın sonunda, belki kalıcı birliktelikler bile çıkabilir ortaya.

Özetle şöyle bir plan yapmışlar:

Önümüzdeki altı hafta boyunca her Cumartesi, akşam saat 8’de, altı buluşma gerçekleşecek. Her hafta, gerçekleşecek altı buluşmanın üçü kadınların evinde, üçü erkeklerin evinde olacak. Herkes, bu altı hafta sonunda, altı buluşmanın üçünde ev sahibi, üçünde de misafir olmuş olacak. Bu koşullara uyan bir buluşma takvimi hazırlamam için bana geldiler. Ben de dedim ki: “Ben uğraşacağıma Afili Filintalar okurları uğraşsın.”

Göreviniz, eğer kabul ederseniz, her bir haftanın buluşma programını bu koşullara uygun olarak hazırlamak. Tolga ve Özge dışındakilerin isimlerini ben de bilmiyorum; Erkek 1, Erkek 2, Kadın 1, Kadın 2 vb. diyebilirsiniz ya da seçeceğiniz isimleri kullanabilirsiniz.

Çözebiliyorsanız, çözümünüzü afsinkum.mat@gmail.com adresine gönderin. Çözümünüzün koşullara uygun olduğunu dikkatli kontrol edin, geçersiz çözümler göndermeyin. Çözemediyseniz, hâlâ şansınız var. Başka hiç kimsenin de çözemeyeceğini ikna edici bir şekilde kanıtlayabiliyorsanız, çözmüş kadar olacaksınız.

Ödül olarak ne verebileceğimi bilmiyorum, çözenlerin sayısına göre bir şey bulacağız artık. Şöyle bir şey olabilir mesela: Eğer bir televizyon yapımcısı, bunu bir realiti şova dönüştürmeye karar verirse, alacağım fikri mülkiyet hakkının (varsa eğer öyle bir şey) yarısını, yok canım, yarısı olur mu, yüzde yirmisini, problemi çözenlerle paylaşırım.

Hadi kolay gelsin.

Çözüm:

Bekâr Fantezisi problemi için Afili Filintalar'da yayınlandığı süre içinde çok sayıda cevap geldi, ama problemi çözen tek kişi bilimadamı, müzik gurmesi, kalem erbabı ve aynı zamanda liseden sınıf arkadaşım Ert oldu. Diğer çözüm önerilerinin hepsi koşullardan birini ya da birkaçını ihlal ediyor. Aslında Ert bulana kadar ben de çözümsüz olduğunu düşünüyordum ve birinin çözmesinden ziyade, çözümsüz olduğunu kanıtlamasını bekliyordum. Ama çözüm bulunmasına sevindim. Çözüme geçmeden önce, çözümün neden bu kadar zor olduğuna dair birkaç tespitim var, onları aktarayım.

İnsan bu probleme yaklaşırken, öncelikle herkesin herkesle buluşmasını sağlamayı, sonra ev sahibi-misafir dengelerini ayarlamayı düşünüyor. İkinciyi yaparken ilkini sabit tutmakta ısrar ederseniz büyük bir olasılıkla sonuca ulaşamıyorsunuz. Çünkü, ilkini, yani herkesin birbiriyle buluşmasını, şu üç yöntemden biriyle sağlanacağını düşünüyorsunuz:

Birincisi, kadınları ve erkekleri ayrı ayrı sıralayıp, her hafta bu sıralardan birini bir adım kaydırmak. Maçtan önce tek tek el sıkışan rakip takım futbolcuları gibi… Bunu iç içe iki çember gibi de düşünebilirsiniz. İçteki çemberde kadınlar vardır mesela, onlar sabit durur. Dıştaki çemberdeki erkekler, her hafta bir adım dönerler (erkekler de sabit durabilir tabii ama böyle yazmak daha çok hoşuma gitti, bunlar hep psikoloji tabii).

İkinci yöntem, erkekleri ve kadınları üçerli iki gruba ayırmak ve birinci yöntemi karşılıklı üçlü gruplar için uygulamak, sonra grupları değiştokuş etmek ve bir de öyle uygulamak. Çoğu kişi bu yöntemi tercih etmiş. Çünkü ev sahibi-misafir sayılarını tutturmanın bir yöntemi olarak, kadınları ve erkekleri iki gruba ayırıp, aynı gruptakileri sürekli birlikte hareket ettirmeyi, yani ya hepsini ev sahibi ya da hepsini misafir yapmayı; bu arada iki erkek grubunu da birbirine ters hareket ettirmeyi (tabii iki kadın grubunu da), böylece hafta içindeki ev sahibi eşitliğini sağlamayı düşünmüşler.

Üçüncü yöntem de, kadınları ve erkekleri ikişerli üç gruba ayırmak ve benzer şekilde, kaydırma işlemini önce gruplar içinde, sonra gruplar arasında uygulamak.

Herkesin herkesle buluşması ancak bunlardan biriyle sağlanabilirmiş gibi geliyor.

Sorun şu ki, bu üç yöntemle de, ne yaparsanız yapın, sonuç çıkmıyor. Ert’in çözümü bunların hiçbirine uymuyor.

En çok tercih edildiğini söylediğim ikinci yöntemin işe yaramayacağı, problemi basitleştirerek kanıtlanabilir. Üçlü erkek ve kadın grupları hep birlikte hareket ediyorsa; bu problem, iki kadın ve iki erkekten oluşan ve iki haftalık bir program beklenen daha basit bir probleme indirgenebilir. Erkekler Tolga ve Turgay, kadınlar Özge ve Ezgi olsun ve aynı koşullar bu problem için de geçerli olsun. Yani her hafta buluşmaların yarısı kadınların yarısı erkeklerin evinde olmalı. Ve toplamda herkesin ev sahibi ve misafir olduğu buluşmaların sayısı eşit olmalı. İlk hafta Tolga, Özge’yi ağırlarken, Ezgi de Turgay’ı ağırlayacak (isimleri yer değiştirebilirsiniz ama bir şey fark etmez). İkinci hafta Tolga, Ezgi ile buluşacak (mecburen, çünkü başka kimse kalmadı) ve ilk hafta ev sahibi olduğuna göre şimdi misafir olmak zorunda. Öte yandan Ezgi de ilk hafta ev sahibiydi, o da misafir olmalı. Yani çözüm yok.

Bundan genellenerek, tüm kişi sayıları için çözümsüz olduğu kanıtlanabilir mi diye düşündüm. Ama dört erkek dört kadından oluşan versiyon, bu yöntemle kolaylıkla çözülüyor. Sekiz kadın sekiz erkek olduğunda da çok kolay çözülüyor. Acaba sadece erkeklerin ve kadınların sayısı dördün katı (ya da toplam kişi sayısı sekizin katı) olduğunda çözüm var, diğer durumlarda yok diye düşündüm, sonrasında (tabii ki Ert’in çözümü gelene kadar). Matematikte iddialı olsam da, matematik becerilerim, bunlardan birini kanıtlayacak düzeyde değil.

Ert, kendi çözüm yöntemini şu şekilde açıkladı: Önce herkesin herkesle buluştuğu ve her hafta üç buluşmanın kadınların evinde, üç buluşmanın erkeklerin evinde olduğu bir taslakla işe başlıyor. Herkesin herkesle buluşmasını ilk yöntemle (tek sıra kaydırma yöntemi) sağlıyor. Bu aşamada, herkesin toplamda eşit sayıda ev sahibi ve misafir olma şartı sağlanmamış durumda. Daha sonra bu şartı sağlamak için, buluşmaları haftalar arasında değiştokuş ediyor, aynı zamanda ev sahibini de değiştirebiliyor. Her aşamada, ilk iki koşulun bozulmamasını şart koşuyor. Ert özel olarak belirtmemiş ama bu değiştokuş ilk iki koşulu bozmadan iki ya da üç çiftin birden değiştokuş edilmesi şeklinde yapılabilir ancak. Yani bir hafta Tolga Özge’yle, Turgay da Ezgi’yle buluşuyorsa; bu iki buluşma Tolga’nın Ezgi’yle, Turgay’ın da Özge’yle buluştuğu bir haftayla değiştokuş edilebilir. Ya da aynı şey üç çift için yapılabilir. İkisi de yapılamıyorsa, o iki hafta arasında değiştokuş edilebilecek çiftler yok demektir (çünkü dört varsa, iki de vardır, beşi birden değiştokuş edilemez, çünkü geriye bir kalır, altısını birden değiştokuş etmek de hafta numaralarını değiştirmekle aynıdır, size bir şey kazandırmaz).

Deneme-yanılma ile çözülmüş gibi görünebilir, ama deneme-yanılma için bile sağlam bir yöntem geliştirmeniz lazım çünkü bütün olasılıkları denemeye ömrünüz yetmez (denizanası falan değilseniz tabii). Aslında bütün çözüm önerileri bir parça deneme-yanılma içeriyordu, ev sahibi-misafir sayılarını denk getirme kısmında özellikle. Ama bunu yaparken, buluşmaları haftalar arasında değiştokuş etmek başka hiç kimsenin aklına gelmemiş.

Her aşamayı test etmek için bilgisayar desteği işi çok kolaylaştırıyor. Excel’de her bir aşamadan sonra koşulları test eden formüller içeren bir sayfa hazırlamak en ideali (excel bilmiyorsanız öğrenin, öğrendikten sonra excel bilmeden geçirdiğiniz yıllara yanacaksınız). Değiştokuş işlemlerinin nasıl olacağı, nereden başlanacağı konusunda Ert özel bir yöntem belirtmemiş. Ama şöyle bir ipucu verdi: Kadın ve erkekleri üçerli gruplara ayırıp, başlangıç pozisyonunda, hiçbir hafta aynı gruptan üç kişinin birden ev sahibi ya da üçünün birden misafir olmadığı, aynı zamanda hiç kimsenin üç hafta üst üste ev sahibi ya da misafir olmadığı bir taslakla işe başladığınızda, çözüme daha kolay ulaşılıyor.

Tabii, çözümü bir kez gördükten sonra alternatifler üretmek kolay. Ben de Ert’in yönteminden ilham alan ama daha kolay anlaşıldığını ve çözüldüğünü düşündüğüm bir yöntem geliştirdim sonrasında. Ama ondan farklı olarak, başlangıçta hafta içindeki ev sahibi-misafir dengelerini değil, toplamdakileri belirledim. Haftalar arasında dağıtmadan önce, kimin kimi ağırlayacağını belirleyip bunu sabit tuttum. Bunu, her erkek farklı üç kadını ve her kadın da farklı üç erkeği misafir edecek şekilde yaptım. Yani, aynı üç kadını ağırlayan iki erkek olmayacak. Bunu yapmak pek zor değil, olası çok sayıda (ara) çözümden biri şöyle mesela (her bir erkeğin misafir ettiği kadınlar, sırayla): 1-3-5, 1-3-6, 2-4-5, 2-4-6, 1-4-5, 2-3-6. Tabii her kadının da üç kere misafir olmasını sağlamanız gerek bunu yaparken. Bunu böyle yapmamın nedeni olasılıkları geniş tutmak.

Daha sonra haftalık program taslağı hazırladım. Bunu da yukarıda andığım ikinci yöntemle yaptım, yani üçerli gruplar oluşturarak… Bundan sonra da, buluşmaları haftalar arasında ikili ya da üçlü gruplar halinde değiştokuş ederek çözüme ulaşabiliyorsunuz. Değiştokuşu mümkün olduğunca kadın ev sahiplerinin çoğunlukta olduğu haftalarla erkek ev sahiplerinin çoğunlukta olduğu haftalar arasında yapıyorsunuz. Bu yöntemle üç değiştokuş sonunda çözüme ulaşılıyor. Şöyle oluyor:

E1’in ağırladıkları: K1, K3, K5
E2’nin ağırladıkları: K1, K3, K6
E3’ün ağırladıkları: K2, K4, K5
E4’ün ağırladıkları: K2, K4, K6
E5’in ağırladıkları: K1, K4, K5
E6’nın ağırladıkları: K2, K3, K6

Daha sonra haftalık program taslağını hazırlıyorum. Bunu da üçerli gruplar oluşturarak yapıyorum. E1-E2-E3’ten oluşan grup, ilk üç hafta K1-K2-K3’ten oluşan grupla buluşuyor, her hafta bir adım kayarak. E4-E5-E6 da K4-K5-K6 ile buluşuyor. Sonraki üç hafta da gruplar yer değiştiriyor; E1-E2-E3’ten oluşan grup K4-K5-K6 ile buluşuyor; E4-E5-E6’dan oluşan grup da K1-K2-K3 ile.

Buna göre pogram aşağıdaki gibi çıkıyor. Tabii ilk aşamada belirlediğim ev sahipleri ve misafirlere uygun olarak…

1. Hafta : E1-K1 / K2-E2 / K3-E3 / E4-K4 / E5-K5 / E6-K6
2. Hafta : K2-E1 / E2-K3 / K1-E3 / K5-E4 / K6-E5 / K4-E6
3. Hafta : E1-K3 / E2-K1 / E3-K2 / E4-K6 / E5-K4 / K5-E6
4. Hafta : K4-E1 / K5-E2 / K6-E3 / K1-E4 / K2-E5 / E6-K3
5. Hafta : E1-K5 / E2-K6 / E3-K4 / E4-K2 / K3-E5 / K1-E6
6. Hafta : K6-E1 / K4-E2 / E3-K5 / K3-E4 / E5-K1 / E6-K2

Bu taslakta, herkesin toplamdaki ev sahiğliği ve misafirlik sayıları doğru, ama haftalar içindeki dağılımlar henüz doğru değil. Sadece altıncı haftada, olması gerektiği gibi üç kadın ve üç erkek ev sahibi var.

İlk değiştokuşu, birinci ve dördüncü haftalar arasında E1, E4, K1 ve K4’ün bulunduğu buluşmalar arasında yapıyorum. Yani birinci haftadaki E1-K1 ve E4-K4 buluşmaları dördüncü haftaya gidiyor; dördüncü haftadaki K4-E1 ve K1-E4 buluşmaları da birinci haftaya geliyor. Her iki haftadaki ikişer buluşma da aynı dört kişi arasında, dolayısıyla yerlerini değiştirmekte bir sorun yok. Bu iki haftanın durumu aşağıdaki gibi oluyor.

1. Hafta : K4-E1 / K2-E2 / K3-E3 / K1-E4 / E5-K5 / E6-K6
4. Hafta : E1-K1 / K5-E2 / K6-E3 / E4-K4 / K2-E5 / E6-K3

Dördüncü hafta düzeldi ama birinci hafta hâlâ dengesiz. Sonraki değiştokuş, birinci hafta ve beşinci hafta arasında E1, E3, E5, K3, K4 ve K5’in dahil olduğu buluşmalar arasında oluyor. Yani birinci haftadaki K4-E1, K3-E3, E5-K5 buluşmaları beşinci haftaya gidiyor. Beşinci haftadaki E1-K5, E3-K4 ve K3-E5 buluşmaları da birinci haftaya gidiyor. Her iki haftadaki üçer buluşma da aynı altı kişi arasında olduğu için bu değiştokuş yapılabiliyor. Değiştokuş sonucu birinci ve beşinci haftaların durumu aşağıdaki gibi:

1. Hafta : E1-K5 / K2-E2 / E3-K4 / K1-E4 / K3-E5 / E6-K6
5. Hafta : K4-E1 / E2-K6 / K3-E3 / E4-K2 / E5-K5 / K1-E6

Her iki hafta da düzeldi. Hâlâ bozuk olan ikinci ve üçüncü haftalar var. Onlar arasında da E1, E2, E3, K1, K2 ve K3’ün dahil olduğu buluşmalar yer değiştiriyor. İkinci haftadaki K2-E1, E2-K3, K1-E3 buluşmaları üçüncü haftaya kayıyor. Üçüncü haftadaki E1-K3, E2-K1 ve K3-K2 buluşmaları da ikinci haftaya geliyor. Bu değiştokuştan sonraki genel durum aşağıdaki gibi:

1. Hafta : E1-K5 / K2-E2 / E3-K4 / K1-E4 / K3-E5 / E6-K6
2. Hafta : E1-K3 / E2-K1 / E3-K2 / K5-E4 / K6-E5 / K4-E6
3. Hafta : K2-E1 / E2-K3 / K1-E3 / E4-K6 / E5-K4 / K5-E6
4. Hafta : E1-K1 / K5-E2 / K6-E3 / E4-K4 / K2-E5 / E6-K3
5. Hafta : K4-E1 / E2-K6 / K3-E3 / E4-K2 / E5-K5 / K1-E6
6. Hafta : K6-E1 / K4-E2 / E3-K5 / K3-E4 / E5-K1 / E6-K2

Problem çözüldü.